Question

7．已知集合A={f（x）|f（x）=xln（ax）}和B={h（x）|h（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$}的交集有且只有2個(gè)子集．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若對于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x²-1）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可知故函數(shù)f（x）的最小值為-$\frac{1}{e}$，利用導(dǎo)函數(shù)求出f（x）的最小值得出-$\frac{1}{ae}$=-$\frac{1}{e}$，a=1；
（2）不等式可轉(zhuǎn)化為即lnx≤m（x-$\frac{1}{x}$），構(gòu)造函數(shù)令h=lnx，n=m（x-$\frac{1}{x}$），分別求導(dǎo)，由題意可知，只需h'≥n'，得出答案．

解答 解：（1）h（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，h'（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
∴函數(shù)在（-∞，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，
∴h（x）的最大值為h（1）=-$\frac{1}{e}$，
∵交集有且只有2個(gè)子集，
∴交集只有一個(gè)元素，故函數(shù)f（x）的最小值為-$\frac{1}{e}$，
∵f'（x）=ln（ax）+1，
∴a＞0且x=$\frac{1}{ae}$時(shí)，f'（x）=0，
∴f（x）≥f（$\frac{1}{ae}$）=-$\frac{1}{ae}$，
∴-$\frac{1}{ae}$=-$\frac{1}{e}$，
∴a=1；
（2）由題知f（x）=xlnx，
若f（x）≤m（x²-1）恒成立，即lnx≤m（x-$\frac{1}{x}$），
令h=lnx，n=m（x-$\frac{1}{x}$），
∴h'=$\frac{1}{x}$，n'=m（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$），
∵x∈[1，+∞），
∴只需h'≥n'，
∴m≥$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，
∴m$≥\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 考查了集合的概念和導(dǎo)函數(shù)的利用，難點(diǎn)是函數(shù)的構(gòu)造，求導(dǎo)．