Question

4．已知平面上的點(diǎn)集A及點(diǎn)P，在集合A內(nèi)任取一點(diǎn)Q，線段PQ長(zhǎng)度的最小值稱為點(diǎn)P到集合A的距離，記作d（P，A），如果A={（x，y）|x²+y²=1}，點(diǎn)P坐標(biāo)為$（2\sqrt{2}，2\sqrt{2}）$，那么d（P，A）=2；如果點(diǎn)集A所表示的圖象是半徑為2的圓，那么點(diǎn)集D={P|d（P，A）≤1}所表示的圖形的面積為8π．

Answer 1

分析 集合A={（x，y）|x²+y²=4}表示圓心為O，半徑r為2的圓上所有點(diǎn)，且P在圓外，則有d（P，A）=|PO|-r，計(jì)算即可得到．對(duì)于D={P|d（P，A）≤1}，討論P(yáng)在圓上和圓外及圓內(nèi)，得到P的軌跡，運(yùn)用圓的面積公式計(jì)算即可得到．

解答 解：集合A={（x，y）|x²+y²=4}表示圓心為O，半徑r為2的圓上所有點(diǎn)，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為$（2\sqrt{2}，2\sqrt{2}）$，由|PO|=4＞2，即有P在圓外，
那么d（P，A）=|PO|-r=4-2=2，
如果點(diǎn)集A所表示的圖形是半徑為2的圓，
若點(diǎn)P在圓上滿足集合D，
P在圓外，則為介于圓心為O，半徑分別為2，3的圓環(huán)，
其面積為9π-4π=5π，
P在圓內(nèi)，則為介于圓心為O，半徑分別為1，2的圓環(huán)，
其面積為4π-π=3π，
那么點(diǎn)集D={P|d（P，A）≤1}所表示的圖形的面積為5π+3π=8π．
故答案為：2，8π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，主要考查兩點(diǎn)距離的最小值，理解點(diǎn)P到集合A的距離的新定義，并運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．