Question

2．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，一條準(zhǔn)線方程為x=2．過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)A作一條與x軸、y軸都不垂直的直線交橢圓于另一點(diǎn)P，P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線AP，AQ與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m，n，求證：mn為常數(shù)，并求出此常數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=2，及其b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$，解出即可得出．
（2）證法一：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁），則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，-y₁）．可得k_AP，直線AP的方程為y=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$x+1．令y=0，解得m．同理可得n．再利用（x₁，y₁）在橢圓$\frac{x2}{2}$+y²=1上，即可得出mn．
解法二：設(shè)直線AP的斜率為k（k≠0），則AP的方程為y=kx+1，令y=0，得m．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得P，則可得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．可得k_AQ，可得直線AQ的方程，可得n，即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=2，
解得a=$\sqrt{2}$，c=1，
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1．
故橢圓的方程為 $\frac{x2}{2}$+y²=1．
（2）證法一：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁），則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，-y₁）．
∵k_AP=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-0}$=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$，
∴直線AP的方程為y=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$x+1．
令y=0，解得m=-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}-1}$．
∵k_AQ=$\frac{-{y}_{1}-1}{{x}_{1}-0}$=-$\frac{{y}_{1}+1}{{x}_{1}}$，
∴直線AQ的方程為y=-$\frac{{y}_{1}+1}{{x}_{1}}$x+1．
令y=0，解得n=$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}+1}$．
∴mn=-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}-1}$×$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}+1}$=$\frac{{x}_{1}^{2}}{1-{y}_{1}^{2}}$．
又∵（x₁，y₁）在橢圓$\frac{x2}{2}$+y²=1上，
∴$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}+{y}_{1}^{2}$=1，即1-${y}_{1}^{2}$=$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}$，
∴mn=2．
∴以mn為常數(shù)，且常數(shù)為2．
解法二：設(shè)直線AP的斜率為k（k≠0），則AP的方程為y=kx+1，
令y=0，得m=-$\frac{1}{k}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$
消去y，得（1+2k²）x²+4kx=0，解得x_A=0，x_P=-$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，
∴y_P=k×x_P+1=$\frac{1-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，-$\frac{1-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$）．
∴k_AQ=$\frac{-\frac{1-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}-1}{-\frac{4k}{1+2{k}^{2}}}$=$\frac{1}{2k}$，
故直線AQ的方程為y=$\frac{1}{2k}$x+1．
令y=0，得n=-2k，
∴mn=（-$\frac{1}{k}$）×（-2k）=2．
∴mn為常數(shù)，常數(shù)為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、直線的斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．