Question

9．已知平面內(nèi)互不相等的非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow$的夾角為150°，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的最大值為（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$．則$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$．由于|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow$的夾角為150°，可得△OAB中，OA=1，∠OBA=30°．由正弦定理可得：△OAB的外接圓的半徑r=1．則點(diǎn)B為圓上與A點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)．由圖可令：$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}$=$（\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，$\overrightarrow=\overrightarrow{OB}$=（1+cosθ，sinθ）．利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)與三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：如圖所示，設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$．
則$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$．∵|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow$的夾角為150°，
∴△OAB中，OA=1，∠OBA=180°-150°=30°．
由正弦定理可得：△OAB的外接圓的半徑r=1．則點(diǎn)B為圓上與A點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)．
由圖可令：$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}$=$（\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，$\overrightarrow=\overrightarrow{OB}$=（1+cosθ，sinθ）．
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ$=$-sin（θ-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$≤$\frac{3}{2}$，當(dāng)$sin（θ-\frac{π}{6}）$=-1時(shí)取等號(hào)．
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的最大值為$\frac{3}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)的單調(diào)性、正弦定理、三角形外接圓的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．