Question

12．對(duì)于非零復(fù)數(shù)a，b，c，有以下七個(gè)命題：
①a+$\frac{1}{a}$≠0；
②若a=-$\overline{a}$，$\overline{a}$為a的共軛復(fù)數(shù)，則a為純虛數(shù)；
③（a+b）²=a²+2ab+b²；
④若a²=ab，則a=b；
⑤若|a|=|b|，則a=±b；
⑥若a²+b²+c²＞0，則a²+b²＞-c²；
⑦若a²+b²＞-c²，則a²+b²+c²＞0．
其中，真命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 2個(gè)
• B． 3個(gè)
• C． 4個(gè)
• D． 5個(gè)

Answer 1

分析 舉例a=i，即可判斷①錯(cuò)；運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)的概念，計(jì)算即可判斷②對(duì)；由復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算性質(zhì)，可得③對(duì)；由兩數(shù)的乘積性質(zhì)可得④對(duì)；當(dāng)a=i，b=1，可得⑤錯(cuò)；當(dāng)a=1，b=1+i，c=1-i，即可判斷⑥錯(cuò)；
運(yùn)用不等式的性質(zhì)：兩邊同時(shí)加上一個(gè)實(shí)數(shù)或整式，不等式符號(hào)不改變，即可判斷⑦對(duì)．

解答 解：對(duì)于非零復(fù)數(shù)a，b，c，
①當(dāng)a=i，則a+$\frac{1}{a}$=i+$\frac{1}{i}$=i-i=0，故①錯(cuò)；
②若a=-$\overline{a}$，$\overline{a}$為a的共軛復(fù)數(shù)，且a為非零復(fù)數(shù)，
設(shè)a=x+yi（x，y∈R），即有x+yi=-（x-yi），可得x=0，y≠0，則a為純虛數(shù)，故②對(duì)；
③由復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算性質(zhì)可得（a+b）²=a²+2ab+b²，故③對(duì)；
④若a²=ab，即a（a-b）=0，由a為非零復(fù)數(shù)，則a=b，故④對(duì)；
⑤當(dāng)a=i，b=1，則|a|=|b|=1，則a=±b不成立．故⑤錯(cuò)；
⑥當(dāng)a=1，b=1+i，c=1-i，有a²+b²+c²=1+2i-2i=1＞0，但a²+b²=1+2i，c²=-2i，
無法比較a²+b²，-c²，故⑥錯(cuò)；
⑦若a²+b²＞-c²，可得不等式左右兩邊均為實(shí)數(shù)，由不等式的性質(zhì)：兩邊同時(shí)加上一個(gè)實(shí)數(shù)或整式，
不等式符號(hào)不改變．則a²+b²+c²＞0．故⑦對(duì)．
綜上可得，真命題的個(gè)數(shù)為4．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算和性質(zhì)，注意與實(shí)數(shù)比較，考查判斷能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．