Question

7．拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，直線y=4與拋物線和y軸分別交于點P、Q，且|PF|=2|PQ|
（1）求拋物線的方程；
（2）過點F作互相垂直的兩直線分別交拋物線于點A、B、C、D，求四邊形ACBD面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的焦點和準線方程，以及P，Q的坐標，運用拋物線的定義和兩點的距離公式，解方程可得p=4，進而得到拋物線的方程；
（2）設AB：x=my+2，CD：x=-$\frac{1}{m}$y+2（m≠0），聯(lián)立拋物線方程，消去x，得到y(tǒng)的方程，運用韋達定理和弦長公式可得|AB|，|CD|，由四邊形的面積公式可得S=$\frac{1}{2}$|AB||CD|，運用基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：（1）拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F（$\frac{p}{2}$，0），準線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
由題意可得P（$\frac{8}{p}$，4），Q（0，4），
由|PF|=2|PQ|，結合拋物線的定義可得|PF|=$\frac{8}{p}$+$\frac{p}{2}$，
即有$\frac{8}{p}$+$\frac{p}{2}$=2•$\frac{8}{p}$（p＞0），解得p=4，
則拋物線的方程為y²=8x；
（2）由（1）知：F（2，0），
設AB：x=my+2，CD：x=-$\frac{1}{m}$y+2（m≠0），
聯(lián)立AB方程與拋物線的方程得：y²-8my-16=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16，
∴|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{64{m}^{2}+64}$=8（1+m²），
同理：|CD|=8（1+$\frac{1}{{m}^{2}}$）．
∴四邊形ACBD的面積：S=$\frac{1}{2}$|AB||CD|=32（1+m²）（1+$\frac{1}{{m}^{2}}$）
=32（2+m²+$\frac{1}{{m}^{2}}$）≥128．
當且僅當m²=$\frac{1}{{m}^{2}}$即：m=±1時等號成立．
∴四邊形ACBD的面積的最小值為128．

點評 本題考查拋物線的標準方程的求法，直線與拋物線的位置關系的應用，四邊形面積的最值以及基本不等式的應用，考查轉化思想以及計算能力．