Question

4．己知函數(shù)f（x）定義在（-1，1）上，對(duì)于任意的x，y∈（-1，1），有f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$），且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞0；
（1）證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）證明函數(shù)f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)；
（3）若函數(shù)f（x）=1n$\frac{1-x}{1+x}$，證明：f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$）．

Answer 1

分析 （1）要判定函數(shù)f（x）在（-1，1）上的奇偶性，只需判定f（-x）與f（x）的關(guān)系，先令x=y=0求出f（0），然后令y=-x即可判定；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判定單調(diào)性；
（3）先求定義域看其是否滿足條件，然后驗(yàn)證函數(shù)是否滿f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$）即可．

解答 （1）證明：∵f（0）+f（0）=f（0）⇒f（0）=0
∴f（-x）+f（x）=f（0）=0⇒f（-x）=-f（x）
∴f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)．
（2）證明：f（x）-f（y）=f（$\frac{x-y}{1-xy}$），
當(dāng)-1＜x＜y＜1時(shí)，$\frac{x-y}{1-xy}$，由條件知f（$\frac{x-y}{1-xy}$）＞0，
即f（x）-f（y）＞0，
∴f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)；
（3）解：由$\frac{1-x}{1+x}$＞0可得-1＜x＜1，即其定義域?yàn)椋?1，1）
又f（x）+f（y）=1n$\frac{1-x}{1+x}$+ln$\frac{1-y}{1+y}$=1n（$\frac{1-x}{1+x}$•$\frac{1-y}{1+y}$）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性性，屬于中檔題，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)在定義域上的“整體”性質(zhì)，單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì)．