Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{a{x^2}+bx+c}$（a＜0）的定義域?yàn)镈，若所有點(diǎn)（s，f（t））（s，t∈D）構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，求a的值．

Answer 1

分析 設(shè)出函數(shù)的定義域D=[x₁，x₂]，由題意可得函數(shù)的最值，結(jié)合所有點(diǎn)（s，f（t））（s，t∈D）構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，可得關(guān)于a，b，c的等式，則答案可求．

解答 解：設(shè)定義域D=[x₁，x₂]，
由題意可知，$f（x）_{min}=0，f（x）_{max}=\sqrt{\frac{4ac-^{2}}{4a}}$，
由已知$|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{\frac{4ac-^{2}}{4a}}$，
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}=（\sqrt{\frac{4ac-^{2}}{4a}}）^{2}=\frac{4ac-^{2}}{4a}$，
而$（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}=（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}=\frac{^{2}-4ac}{{a}^{2}}$，
∴$\frac{^{2}-4ac}{{a}^{2}}=\frac{4ac-^{2}}{4a}$，即a²+4a=0，
∵a＜0，∴a=-4．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的定義域及其求法，關(guān)鍵是對題意的理解，屬中檔題．