Question

20．如圖，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長(zhǎng)AB=2，側(cè)棱BB₁的長(zhǎng)為4，過(guò)點(diǎn)B作B₁C的垂線(xiàn)交側(cè)棱CC₁于點(diǎn)E，交B₁C于點(diǎn)F．
（1）求證：A₁C⊥平面BDE；
（2）求BC與平面BDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）首先分別以DA，DC，DD₁三直線(xiàn)為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，并求出一些點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)E（0，2，z），由BE⊥B₁C即可求出z=1．可設(shè)平面BDE的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\end{array}\right.$即可求出法向量$\overrightarrow{n}$，從而可說(shuō)明$\overrightarrow{{A}_{1}C}$∥$\overrightarrow{n}$，這樣便得出A₁C⊥平面BDE；
（2）求出向量$\overrightarrow{BC}$的坐標(biāo)，設(shè)BC與平面BDE所成角為θ，那么由sinθ=$|cos＜\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{n}＞|$即可求出BC與平面BDE所成角的正弦值．

解答 解：（1）證明：分別以邊DA，DC，DD₁所在直線(xiàn)為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則：
D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（2，0，4），B₁（2，2，4）；
E在棱CC₁上，設(shè)E（0，2，z），∵BE⊥B₁C，$\overrightarrow{BE}=（-2，0，z）$，$\overrightarrow{{B}_{1}C}=（-2，0，-4）$；
∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{{B}_{1}C}$=4-4z=0；
∴z=1；
∴E（0，2，1）；
設(shè)平面BDE的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，$\overrightarrow{DB}=（2，2，0），\overrightarrow{DE}=（0，2，1）$，則：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=2y+z=0}\end{array}\right.$；
取y=1，則$\overrightarrow{n}=（-1，1，-2）$；
∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}=（-2，2，-4）$=$2\overrightarrow{n}$；
∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}$∥$\overrightarrow{n}$；
∴A₁C⊥平面BDE；
（2）$\overrightarrow{BC}=（-2，0，0）$，設(shè)直線(xiàn)BC和平面BDE所成角為θ，則：
$sinθ=|cos＜\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{n}|}=\frac{2}{2•\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$；
∴BC與平面BDE所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 考查通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明線(xiàn)面垂直，求線(xiàn)面角的方法，平面法向量的概念及求法，知道直線(xiàn)與平面垂直時(shí)，直線(xiàn)方向向量與平面法向量的關(guān)系，弄清直線(xiàn)和平面所成角與直線(xiàn)方向向量和平面法向量夾角的關(guān)系，以及向量夾角夾角的坐標(biāo)公式．