Question

10．已知非空集合S?N，并且滿足條件“x∈S，那么$\frac{16}{x}$∈S”．
（1）寫出所有只含有一個(gè)元素的集合S；
（2）寫出所有只含有兩個(gè)元素的集合S；
（3）滿足題設(shè)的集合S共有多少個(gè)？

Answer 1

分析 非空集合S?N，并且滿足條件“x∈S，那么$\frac{16}{x}$∈S
（1）當(dāng)S只有一個(gè)元素時(shí)，x=$\frac{16}{x}$，解得S；
（2）用列舉法，可得到所有元素個(gè)數(shù)為2的S；
（3）類比n元集合有2ⁿ-1個(gè)非空真子集，可得滿足上述條件的集合S的個(gè)數(shù)

解答 解：∵非空集合S?N，并且滿足條件“x∈S，那么$\frac{16}{x}$∈S”
（1）當(dāng)S只有一個(gè)元素時(shí)，x=$\frac{16}{x}$，
解得：x=±4，
故S={4}或S={-4}，
（2）當(dāng)S只有二個(gè)元素時(shí)，集合S可以為：
{2，8}，{1，16}，{-2，-8}，{-1，-16}
（3）由于集合S中的元素2與8，1與16，-2與-8，-1與-16必須同時(shí)出現(xiàn)，故S中的元素至多有6組，
又∵S≠∅，
故滿足條件的S共有2⁶-1=31．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是元素與集合關(guān)系的判斷，正確理解條件“如果x∈S，那么$\frac{16}{x}$∈S”是解答的關(guān)鍵