Question

10．已知非空集合S?N，并且滿足條件“x∈S，那么$\frac{16}{x}$∈S”．
（1）寫出所有只含有一個元素的集合S；
（2）寫出所有只含有兩個元素的集合S；
（3）滿足題設的集合S共有多少個？

Answer 1

分析 非空集合S?N，并且滿足條件“x∈S，那么$\frac{16}{x}$∈S
（1）當S只有一個元素時，x=$\frac{16}{x}$，解得S；
（2）用列舉法，可得到所有元素個數(shù)為2的S；
（3）類比n元集合有2ⁿ-1個非空真子集，可得滿足上述條件的集合S的個數(shù)

解答 解：∵非空集合S?N，并且滿足條件“x∈S，那么$\frac{16}{x}$∈S”
（1）當S只有一個元素時，x=$\frac{16}{x}$，
解得：x=±4，
故S={4}或S={-4}，
（2）當S只有二個元素時，集合S可以為：
{2，8}，{1，16}，{-2，-8}，{-1，-16}
（3）由于集合S中的元素2與8，1與16，-2與-8，-1與-16必須同時出現(xiàn)，故S中的元素至多有6組，
又∵S≠∅，
故滿足條件的S共有2⁶-1=31．

點評 本題考查的知識點是元素與集合關系的判斷，正確理解條件“如果x∈S，那么$\frac{16}{x}$∈S”是解答的關鍵