Question

1．設函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$，其中向量$\overrightarrow{m}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x），x∈R．
（1）求f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示式，再用降冪公式和輔助角公式化簡整理，可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，最后根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+k的單調增區(qū)間和最值即可得到本題的答案．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$，其中向量$\overrightarrow{m}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x），
∴f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x-1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z，
（2）由（1）可知，f（x）在[0，$\frac{π}{6}$]為增函數(shù)，在[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上為減函數(shù)，
∴當x=$\frac{π}{6}$，函數(shù)有最大值，即為2+1=3，
f（0）=2sin$\frac{π}{6}$+1=2，f（$\frac{π}{2}$）=2sin（π+$\frac{π}{6}$）+1=-1+1=0，
∴f（x）的最小值為0．

點評 本題以向量的數(shù)量積運算為載體，著重考查了三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質等知識，屬于基礎題．