已知函數(shù)f(x)=2lnx-
1
2
ax2-3x,其中a為常數(shù).
(1)若當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得極值,求a的值,并求出f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)g(x)+xf′(x)=-3x2+ax+1,問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a,使得當(dāng)a∈(0,1]時(shí),g(x)有最大值,若存在,求出a的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
專題:計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)求出f(x)的定義域,再求導(dǎo)f′(x)=2
1
x
-ax-3,從而可得f′(1)=2-a-3=0,從而求a,代入根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性;
(2)由題意,g(x)+xf′(x)=-3x2+ax+1可化為g(x)=(a-3)x2+(a+3)x-1;根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的最值.
解答: 解:(1)f(x)=2lnx-
1
2
ax2-3x的定義域?yàn)椋?,+∞);
f′(x)=
2
x
-ax-3,
令f′(1)=2-a-3=0,
解得a=-1;
故f(x)=2lnx+
1
2
x2-3x,
f′(x)=
2
x
+x-3=
(x-1)(x-2)
x
;
故當(dāng)0<x<1或x>2時(shí),f′(x)>0;
當(dāng)1<x<2時(shí),f′(x)<0;
故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1),(2,+∞);單調(diào)減區(qū)間為(1,2);
(2)由題意,g(x)+xf′(x)=-3x2+ax+1可化為
g(x)+x(
2
x
-ax-3)=-3x2+ax+1,
g(x)=(a-3)x2+(a+3)x-1;
∵a∈(0,1],
∴a-3<0,且g(x)圖象的對(duì)稱軸x=-
a+3
a-3
>0;
故g(x)=(a-3)x2+(a+3)x-1在(0,+∞)上在對(duì)稱軸處有最大值,
故a的取值范圍為(0,1].
點(diǎn)評(píng):本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

畫(huà)出函數(shù)y=|3x-1|的圖象,并利用圖象回答:k為何值時(shí),方程|3x-1|=k無(wú)解?有一解?有兩解?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知雙曲線方程為
x2
16
-
y2
64
=1
,過(guò)點(diǎn)A(4,4)作直線l,使直線l與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則這樣的直線l的條數(shù)為
 
條.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線y2=4x,P是拋物線上一點(diǎn),F(xiàn)為焦點(diǎn),一個(gè)定點(diǎn)A(5,3).則|PA|+|PF|的最小值為( 。
A、5B、6C、7D、8

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在正方體AC1中,AA1與 B1D所成角的余弦值是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中,我們通常運(yùn)用類比猜想的方法研究問(wèn)題.
(1)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P為圓O:x2+y2=r2外一點(diǎn),過(guò)P引圓O的兩條切線PA、PB,A、B為切點(diǎn),若
PA
PB
=0,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)若動(dòng)點(diǎn)Q為橢圓M:
x2
9
+
y2
4
=1外一點(diǎn),過(guò)Q引橢圓M的兩條切線QC、QD,C、D為切點(diǎn),若
QC
QD
=0,求出動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程;
(3)在(2)問(wèn)中若橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),其余條件都不變,那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是什么(直接寫出答案即可,無(wú)需過(guò)程).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

求下列函數(shù)的定義域與值域.
(1)y=23x+1
(2)y=
2x-4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如果執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸入x=5.5,則輸出的數(shù)i=( 。
A、5B、6C、7D、8

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( 。
A、26
B、42+3
5
C、62
D、42-3
5

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案