Question

10．定義在R上的偶函數(shù)y=f（x），恒有f（x+4）=f（x）-f（-2）成立，且f（0）=1，當0≤x₁＜x₂≤2時，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，則方程f（x）-lg|x|=0的根的個數(shù)為（　�。�

• A． 12
• B． 10
• C． 6
• D． 5

Answer 1

分析 令x=-2得出f（2）=f（-2）=0，于是f（x）=f（x+4），從而得出f（x）的周期為4，根據(jù)f（x）的奇偶性及[0，2]上單調性做出y=f（x）與y=lg|x|的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象交點個數(shù)判斷．

解答 解：∵f（x）是R上的偶函數(shù)，且f（x+4）=f（x）-f（-2），
∴f（-2+4）=f（-2）-f（-2）=0，
∴f（2）=f（-2）=0．
∴f（x+4）=f（x），
∴f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．
∵當0≤x₁＜x₂≤2時，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，
∴f（x）在[0，2]上是減函數(shù)，在[-2，0]上是增函數(shù)．
做出y=f（x）與y=lg|x|的函數(shù)的部分圖象如下：

由圖象可知y=f（x）與y=lg|x|在（0，+∞）上有5個交點，
根據(jù)函數(shù)的對稱性可知y=f（x）與y=lg|x|在（-∞，0）上有5個交點，
∴方程f（x）-lg|x|=0有10個根．
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性，單調性，函數(shù)零點個數(shù)判斷，屬于中檔題．