Question

14．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，S_n為其前n項(xiàng)和，a₁=-6，S₃=S₄．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=${2^{{a_{n+4}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用a₄=S₄-S₃，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得公差，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求得b_n，再由等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)計(jì)算即可得到所求．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)镾₃=S₄，所以a₄=0．
因?yàn)閿?shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₁=-6，
所以-6+3d=0，即有d=2．
所以a_n=-6+2（n-1）=2n-8．
（Ⅱ）由a_n=2n-8可得a_n+4=2（n+4）-8=2n，
所以${b_n}={2^{{a_{n+4}}}}={4^n}$．
從而可知{b_n}是首項(xiàng)b₁=4，公比為4的等比數(shù)列，
所以其前n項(xiàng)和為$\frac{{4（1-{4^n}）}}{1-4}=\frac{{4（{4^n}-1）}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)和等比數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．