Question

3．已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且cosB=$\frac{4}{5}$，b=2．
（Ⅰ）當(dāng)a=$\frac{5}{3}$時(shí)，求A；
（Ⅱ）當(dāng)a+c=2$\sqrt{10}$時(shí)，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由cosB=$\frac{4}{5}$，可求sinB=$\frac{3}{5}$，由正弦定理可得sinA=$\frac{1}{2}$，利用A的范圍及大邊對(duì)大角的知識(shí)即可求得A的值．
（Ⅱ）由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac（1+cosB），利用已知整理可求得ac=10，根據(jù)三角形面積公式即可得解．

解答 （本題滿分為10分）
解：（Ⅰ）∵cosB=$\frac{4}{5}$，∴解得sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3}{5}$，
∴由正弦定理可得：sinA=$\frac{asinB}=\frac{\frac{5}{3}×\frac{3}{5}}{2}=\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，且a＜b，
∴A=$\frac{π}{6}$…5分
（Ⅱ）由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac（1+cosB），
∵cosB=$\frac{4}{5}$，b=2，a+c=2$\sqrt{10}$，
∴40-$\frac{18}{5}ac=4$，解得：ac=10．
∴S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×10×\frac{3}{5}=3$…10分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．