Question

已知函數(shù)f（x）=

-x2+ 1 2 x，x＜0 ln(x+1)，x≥0

，若函數(shù)y=f（x）-kx有三個零點，則實數(shù)k的取值范圍（　�。�

• A、（0，1）
• B、（

  1

  2

  ，2）
• C、（-1，1）
• D、（

  1

  2

  ，1）

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用,函數(shù)零點的判定定理

專題：計算題,數(shù)形結合,函數(shù)的性質及應用

分析：分別求出x＜0和x≥0時函數(shù)y=f（x）-kx零點的取值情況，利用數(shù)形結合切點和直線y=kx，k的取值范圍即可得到．

解答： 解：由y=f（x）-kx=0，得f（x）=kx
∵f（0）=ln1=0，
∴x=0是函數(shù)y=f（x）-kx的一個零點，
當x＜0時，由f（x）=kx，
得-x²+

1

2

x=kx，
即-x+

1

2

=k，解得x=

1

2

-k，
由x=

1

2

-k＜0，解得k＞

1

2

，
當x＞0時，函數(shù)f（x）=ln（x+1），
f'（x）=

1

x+1

∈（0，1），
∵x＞0，
∴要使函數(shù)y=f（x）-kx在x＞0時有一個零點，
則0＜k＜1，
∵k＞

1

2

，
∴

1

2

＜k＜1，
即實數(shù)k的取值范圍是（

1

2

，1），
故選：D．

點評：本題主要考查函數(shù)零點的個數(shù)的應用，利用方程和函數(shù)之間的關系，將函數(shù)零點轉化為函數(shù)圖象相交問題，利用數(shù)形結合是解決此類問題的關鍵，利用切線的臨界位置是解決問題的突破點．