Question

13．質(zhì)地均勻的一個(gè)轉(zhuǎn)盤，從圓心開始作四個(gè)半徑，將圓盤分成A，B，C，D四份，它們所對的圓心角依次為45°，60°，120°，135°，端點(diǎn)在圓心的指針可以繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)，某人進(jìn)行游戲，規(guī)則是隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)指針，待其自行停下，指針停在A，B，C，D區(qū)域可分別得到4，3，2，1分，設(shè)指針轉(zhuǎn)動(dòng)后停在任何一個(gè)地方是等可能的，指針停在分界線上時(shí)，按高分計(jì)算．
（1）求轉(zhuǎn)動(dòng)兩次后，得分的和為4的概率；
（2）設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)兩次得分的和為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 確定事件指針停在A，B，C，D區(qū)域的事件為A，B，C，D，求出P（A）=$\frac{1}{8}$，P（B）=$\frac{1}{6}$，P（C）=$\frac{1}{3}$，P（D）=$\frac{3}{8}$，
（1）轉(zhuǎn)動(dòng)兩次后，得分的和為4的事件：2次都得2分，一次當(dāng)1分，一次的2分，根據(jù)概率公式求解即可．
（2）確定隨機(jī)變量可能的值ξ=2，3，4，5，6，7，8，根據(jù)總得分情況，判斷每次的得分情況，利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式求解相應(yīng)的概率，
列出分布列，求解數(shù)學(xué)期望．

解答 解：設(shè)指針停在A，B，C，D區(qū)域的事件為A，B，C，D
∵將圓盤分成A，B，C，D四份，它們所對的圓心角依次為45°，60°，120°，135°，
∴P（A）=$\frac{1}{8}$，P（B）=$\frac{1}{6}$，P（C）=$\frac{1}{3}$，P（D）=$\frac{3}{8}$，
∵指針停在A，B，C，D區(qū)域可分別得到4，3，2，1分，
∴3+1=4，2+2=4
（1）轉(zhuǎn)動(dòng)兩次后，得分的和為4的概率：2×$\frac{1}{6}$×$\frac{3}{8}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{17}{72}$，
（2）ξ=2，3，4，5，6，7，8
P（ξ=2）=$\frac{3}{8}$×$\frac{3}{8}$P（ξ=3）=2×$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{8}$=$\frac{1}{4}$，
P（ξ=4）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$×$\frac{3}{8}$$+\frac{3}{8}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{17}{72}$，
P（ξ=5）=2×$\frac{1}{8}$×$\frac{3}{8}$+2×$\frac{1}{6}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{59}{288}$，
P（ξ=6）=$\frac{1}{6}$×$\frac{1}{6}$+2×$\frac{1}{8}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{9}$，
P（ξ=7）=2×$\frac{1}{8}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{24}$，
P（ξ=8）=$\frac{1}{8}$×$\frac{1}{8}$=$\frac{1}{64}$，

ξ	2	3	4	5	6	7	8
P	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{17}{72}$	$\frac{59}{288}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{24}$	$\frac{1}{64}$

數(shù)學(xué)期望：Eξ=2×$\frac{9}{64}$$+3×\frac{1}{4}$$+4×\frac{17}{72}$$+5×\frac{59}{288}$$+6×\frac{1}{9}$$+7×\frac{1}{24}$$+8×\frac{1}{64}$=$\frac{1186}{288}$≈4.1．

點(diǎn)評 本題考查了幾何概率，古典概率的求解，注意分類，判斷求解每個(gè)隨機(jī)變量的概率，列出分布列，計(jì)算較麻煩，屬于中檔題．