Question

3．已知（x+$\frac{1}{x}$-2）⁹，展開(kāi)式x³的系數(shù)為18564．

Answer 1

分析 把三項(xiàng)式寫(xiě)成二項(xiàng)式，求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再利用二項(xiàng)式的展開(kāi)式通項(xiàng)公式，令x的冪指數(shù)等于3，求出r、a的值，從而求出x³項(xiàng)的系數(shù)．

解答 解：二項(xiàng)式${（x+\frac{1}{x}-2）}^{9}$=${[（x+\frac{1}{x}）-2]}^{9}$
展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)_r+1=${C}_{9}^{r}$•${（x+\frac{1}{x}）}^{9-r}$•（-2）^r．
對(duì)于${（x+\frac{1}{x}）}^{9-r}$，它的通項(xiàng)公式為T(mén)_a+1=${C}_{9-r}^{a}$•x^9-r-a•${（\frac{1}{x}）}^{a}$=${C}_{9-r}^{a}$•x^9-r-2a，
其中，a≤9-r，0≤r≤9，r、a都是自然數(shù)；
令9-r-2a=3，解得$\left\{\begin{array}{l}{r=0}\\{a=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{r=2}\\{a=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{r=4}\\{a=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{r=6}\\{a=0}\end{array}\right.$；
∴展開(kāi)式中x³項(xiàng)的系數(shù)為
${C}_{9}^{0}$•（-2）⁰•${C}_{9}^{3}$+${C}_{9}^{2}$•（-2）²•${C}_{7}^{2}$+${C}_{9}^{4}$•（-2）⁴•${C}_{5}^{1}$+${C}_{9}^{6}$•（-2）⁶•${C}_{3}^{0}$
=84+3024+10080+5376=18564，
故答案為：18564．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式的靈活應(yīng)用，是綜合性題目．