Question

16．設F₁，F(xiàn)₂是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{m}=1$的兩個焦點，點P在C上，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，若拋物線y²=16x的準線經過雙曲線C的一個焦點，則|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|$•|\overrightarrow{P{F}_{2}}$|的值等于（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 6
• C． 14
• D． 16

Answer 1

分析 求得拋物線的準線方程x=-4，可得雙曲線的c=4，由向量垂直的條件和勾股定理，可得PF₁²+PF₂²=F₁F₂²=4c²=64，①由雙曲線的定義可得|PF₁-PF₂|=2a=6，②，運用平方相減即可得到所求值．

解答 解：拋物線y²=16x的準線為x=-4，
由題意可得雙曲線的一個焦點為（-4，0），
即有c=4，
由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0可得PF₁⊥PF₂，
由勾股定理可得，PF₁²+PF₂²=F₁F₂²=4c²=64，①
由雙曲線的定義可得|PF₁-PF₂|=2a=6，②
①-②²，可得2PF₁•PF₂=28，
即有|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|$•|\overrightarrow{P{F}_{2}}$|的值等于14．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質，考查向量垂直的條件以及勾股定理，同時考查拋物線的方程和性質的運用，屬于中檔題．