2.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞減的函數(shù)是(  )
A.f(x)=sinxB.f(x)=2cosx+1C.f(x)=2x-1D.$f(x)=ln\frac{1-x}{1+x}$

分析 根據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義,正弦函數(shù)的單調(diào)性,指數(shù)函數(shù)的圖象,奇函數(shù)圖象的對稱性,以及復(fù)合函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性便可判斷每個選項(xiàng)的正誤,從而找出正確選項(xiàng).

解答 解:A.f(x)=sinx在(-1,1)上單調(diào)遞增,∴該選項(xiàng)錯誤;
B.f(x)=2cosx+1是偶函數(shù),不是奇函數(shù),∴該選項(xiàng)錯誤;
C.f(x)=2x-1的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱,不是奇函數(shù),∴該選項(xiàng)錯誤;
D.解$\frac{1-x}{1+x}>0$得,-1<x<1,且$f(-x)=ln\frac{1+x}{1-x}=-ln\frac{1-x}{1+x}=-f(x)$;
∴f(x)為奇函數(shù);
$f(x)=ln\frac{1-x}{1+x}=ln(-1+\frac{2}{1+x})$;
$y=-1+\frac{2}{1+x}$在(-1,1)上單調(diào)遞減,y=lnx單調(diào)遞增;
∴f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減,∴該選項(xiàng)正確.
故選:D.

點(diǎn)評 考查奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義,奇函數(shù)圖象的對稱性,指數(shù)函數(shù)的圖象,以及對數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.

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(2)在x軸上是否存在點(diǎn)Q,使得過Q的直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),且滿足$\frac{1}{Q{A}^{2}}$+$\frac{1}{Q{B}^{2}}$為定值?若存在,請求出定值,并求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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