Question

【題目】設(shè)集合A={1,2,…,2016}.對(duì)于A的任一個(gè)1008元子集X,若存在x、y∈X,滿足x<y,x|y,則稱X為“好集”.求最大的正整數(shù)a(a∈A),使得任一個(gè)含a的1008元子集皆為好集。

Answer 1

【答案】671

【解析】

因?yàn)槿魏握�整�?shù)n可以表為(a∈N,t為正奇數(shù))的形式,所以,集合A可劃分為以下1008個(gè)子集:

,

其中,j=1,2,…,1008.對(duì)于集合A的任一個(gè)1008元子集X,只要集合X中含有某一個(gè)子集A中的至少兩個(gè)元素,則.此時(shí),X為好集.

下面證明:正整數(shù)a的最大值為671.

當(dāng)a=671時(shí),對(duì)于集合A的任一個(gè)1008元子集X,若集合X中含有某個(gè)子集中的至少兩個(gè)元素,則X為好集;如果中的1008個(gè)集合,每個(gè)集合中恰有一個(gè)元素在集合X中,那么, 也有一個(gè)元素在集合X中,但為單元素集,于是,2013∈X.而a|2013(2013=671×3=3a),這表明,X仍為好集.因此,a=671符合要求.

當(dāng)a≥672時(shí),存在含a的集合X為好集.分兩種情形.

(1)若a≥1009,取1008元集,則

因?yàn)?/span>中任兩個(gè)不同元素x<y,均有,所以, 不為好集,這種不符合要求.

(2)若672≤a≤1008,記,

令.則,且.

若集合X中存在x<y,使得x|y,且,則.

當(dāng),如果,那么,只有或3x.

此時(shí),y的取值只能是或.

注意到,1344=2(672+0),2016=2(672+336).

這表明,兩個(gè)數(shù)已被挖去,不在集合X中當(dāng)x>672,假若x|y,只有y=2x,這種數(shù)y也已被挖去,即

因此,X不為好集,這種a也不符合要求.

綜上,a的最大值為671.