Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+aln（x+1）．
（1）若a=-12，寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若在區(qū)間[0，1]上，函數(shù)f（x）在x=0處取得最大值，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=-12代入函數(shù)的表達式，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為2x²+2x+a≥0在[2，+∞）上恒成立，從而求出a的范圍；
（3）根據(jù)方程2x²+2x+a=0，△=4-8a，通過討論△的符號，從而求出a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=-12，f（x）=x²-12ln（x+1）（x＞-1），
f′（x）=2x-$\frac{12}{x+1}$=$\frac{2（x+3）（x-2）}{x+1}$，（x＞-1），
∴當(dāng)-1＜x＜2時f′（x）＜0，當(dāng)x＞2時f′（x）＞0，…（3分）
∴函數(shù)f（x）在（-1，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增．…（4分）
（2）∵f′（x）=2x+$\frac{a}{x+1}$=$\frac{{2x}^{2}+2x+a}{x+1}$，（x＞-1），
又∵函數(shù)f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴2x²+2x+a≥0在[2，+∞）上恒成立，…（6分）
令t=2x²+2x=2${（x+\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{2}$（x≥2），則t≥12，
∴a≥-12．…（8分）
（3）對于方程2x²+2x+a=0，△=4-8a，
當(dāng)△≤0時，f′（x）≥0，f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增不合題意，
當(dāng)△＞0時，設(shè)x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程2x²+2x+a=0的兩個根，…（10分）
根據(jù)題意有x₁＜0＜x₂且f（0）＞f（1），
∴解得a＜-log₂e，…（13分）
∴實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-log₂e）．…（14分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．