Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x+1}{x-1}$（x≠1）．
（Ⅰ）證明f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)；
（Ⅱ）令g（x）=lnf（x），試討論g（x）=lnf（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用單調(diào)性的定義證題步驟：取值、作差、變形定號、下結(jié)論，即可證得；
（Ⅱ）先判斷函數(shù)的奇偶性，再求出函數(shù)的定義域、g（-x），化簡后利用函數(shù)奇偶性的定義進行判斷．

解答 證明：（Ⅰ）設(shè)1＜x₁＜x₂，則 f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{1}-1}$-$\frac{{x}_{2}+1}{{x}_{2}-1}$
=$\frac{{（x}_{1}+1）（{x}_{2}-1）-（{x}_{2}+1）（{x}_{1}-1）}{{（x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$=$\frac{{2（x}_{2}-{x}_{1}）}{{（x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$，…3分
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，∴x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，則f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)；…6分
解：（Ⅱ）g（x）是偶函數(shù)，原因如下：
g（x）=lnf（x）=$ln\frac{x+1}{x-1}$，
由$\frac{x+1}{x-1}＞0$得（x+1）（x-1）＞0，解得x＞1或x＜-1，
∴函數(shù)g（x）的定義域是{x|x＞1或x＜-1}，關(guān)于原點對稱，…8分
∵g（-x）=$ln\frac{-x+1}{-x-1}$=$ln\frac{x-1}{x+1}$=-$ln\frac{x+1}{x-1}$=-g（x），
∴函數(shù)g（x）是偶函數(shù)…12分

點評 本題考查函數(shù)單調(diào)性的證明及奇偶性的判斷，對數(shù)函數(shù)的運算，掌握單調(diào)性的定義證題步驟是關(guān)鍵，考查化簡、變形能力，屬于中檔題．