Question

7．已知函數(shù)f（x）=|x²+ax+b|在區(qū)間[0，c]內(nèi)的最大值為M（a，b∈R，c＞0位常數(shù)）且存在實(shí)數(shù)a，b，使得M取最小值2，則a+b+c=2．

Answer 1

分析 函數(shù)y=x²+ax+b是二次函數(shù)，可得函數(shù)f（x）=|x²+ax+b|在區(qū)間[0，c]內(nèi)的最大值在端點(diǎn)處或x=-$\frac{a}{2}$處取得．
分別討論即可得到a+c=0，b=2，可得a+b+c=2．

解答 解：函數(shù)y=x²+ax+b是二次函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）=|x²+ax+b|在區(qū)間[0，c]內(nèi)的最大值為M在端點(diǎn)處或x=-$\frac{a}{2}$處取得．
若在x=0處取得，則b=±2，
若在x=-$\frac{a}{2}$處取得，則$|b-\frac{{a}^{2}}{4}|=2$，
若在x=c處取得，則|c²+ac+b|=2．
若b=2，則頂點(diǎn)處的函數(shù)值不為2，應(yīng)為0，符合要求，
若b=-2則頂點(diǎn)處的函數(shù)值的絕對(duì)值大于2，不成立．
由此推斷b=$\frac{{a}^{2}}{4}$，即有b=2，則a+c=0，
可得a+b+c=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的最值的求法，注意討論對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間的關(guān)系，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．