【題目】如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,點(diǎn)M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD成30°的角.
求證:(1)CM∥平面PAD.
(2)平面PAB⊥平面PAD.
【答案】見解析
【解析】
建立空間直角坐標(biāo)系.(1)可證明與平面PAD的法向量垂直;也可將分解為平面PAD內(nèi)的兩個向量的線性組合,利用共面向量定理證明.
(2)取AP中點(diǎn)E,利用向量證明BE⊥平面PAD即可.
【證明】由題意可知:
以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CB所在直線為x軸,CD所在直線為y軸,CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.
∵PC⊥平面ABCD,
∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角,
∴∠PBC=30°.
∵PC=2,∴BC=2,PB=4.
∴D(0,1,0),B(2,0,0),
A(2,4,0),P(0,0,2),M(,0,),
∴=(0,-1,2),=(2,3,0),
=(,0,).
(1)方法一:令n=(x,y,z)為平面PAD的一個法向量,則
即∴
令y=2,得n=(-,2,1).
∵n·=-×+2×0+1×=0,
∴n⊥.又CM平面PAD,
∴CM∥平面PAD.
方法二:∵=(0,1,-2),=(2,4,-2),
假設(shè)∥平面PAD,
則存在x0,y0使=x0+y0,則
方程組的解為
∴=-+.
由共面向量定理知與,共面,故假設(shè)成立.
又∵CM平面PAD,
∴CM∥平面PAD.
(2)取AP的中點(diǎn)E,連接BE,則E(,2,1),
=(-,2,1).
易知PB=AB,∴BE⊥PA.
又∵·=(-,2,1)·(2,3,0)=0,
∴⊥,∴BE⊥DA.又PA∩DA=A,
∴BE⊥平面PAD.
又∵BE平面PAB,
∴平面PAB⊥平面PAD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知真命題:“函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形”的等價條件為“函數(shù)是奇函數(shù)”.
(1)將函數(shù)的圖象向左平移1個單位,再向上平移2個單位,求此時圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式,并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)圖象對稱中心的坐標(biāo);
(2)已知命題:“函數(shù)的圖象關(guān)于某直線成軸對稱圖象”的等價條件為“存在實(shí)數(shù)a和b,使得函數(shù)是偶函數(shù)”.斷該命題的真假.如果是真命題,請給予證明;如果是假命題,請說明理由,并類比題設(shè)的真命題對它進(jìn)行修改,使之成為真命題(不必證明).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線與拋物線C:及其準(zhǔn)線分別交于M,N兩點(diǎn),F為拋物線的焦點(diǎn),若,則m等于( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知過原點(diǎn)的動直線l與圓相交于不同的兩點(diǎn)A,B.
(1)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)是否存在實(shí)數(shù)k,使得直線L:y=k(x﹣4)與曲線C只有一個交點(diǎn)?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+1,g(x)=4x+1,的定義域都是集合A,函數(shù)f(x)和g(x)的值域分別為S和T,
(1)若A=[1,2],求S∩T
(2)若A=[0,m]且S=T,求實(shí)數(shù)m的值
(3)若對于集合A的任意一個數(shù)x的值都有f(x)=g(x),求集合A.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=(x2-1)lnx-x2+2x.
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程;
(2)證明:f(x)≥1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有個人聚會,已知:
(1)每個人至少同其中個人互相認(rèn)識;
(2)對于其中任意個人,或者其中有2人相識,或者余下的人中有2人相識,證明:這個人中必有3人兩兩相識.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,證明: 在定義域上為減函數(shù);
(Ⅱ)若.討論函數(shù)的零點(diǎn)情況.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若運(yùn)行如圖所示的程序框圖,輸出的的值為127,則輸入的正整數(shù)的所有可能取值的個數(shù)為( )
A. 8 B. 3 C. 2 D. 1
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