Question

已知A（-1，0），B（1，0），動點M滿足|MA|+|MB|=4，記動點M的軌跡為曲線C
（1）求曲線C的方程；
（2）若點P在曲線C上，且滿足

PA

•

PB

=t，求實數t的取值范圍．

Answer 1

考點：橢圓的應用,平面向量數量積的運算,直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由A（-1，0），B（1，0），動點M滿足|MA|+|MB|=4＞2，可得動點M的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，且a=2，c=1，即可求曲線C的方程；
（2）設P（x₀，y₀），由

PA

•

PB

=t，推出x₀²+y₀²=t+1．點P在曲線C上，

x02

4

+

y02

3

=1，得y₀²=t+1-x₀²，然后求出0≤x₀²≤4，解出2≤t≤3．得到實數t的取值范圍．

解答： 解：（1）∵A（-1，0），B（1，0），動點M滿足|MA|+|MB|=4＞2，
∴動點M的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，且a=2，c=1，
∴b=

3

，
∴曲線C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設P（x₀，y₀），由

PA

•

PB

=t，得
（-1-x₀．-y₀）•（1-x₀，-y₀）=t，
即x₀²+y₀²=t+1，
∴y₀²=t+1-x₀²，
∵點P在曲線C上，
∴

x02

4

+

y02

3

=1，
∴x₀²=4（t-2）．                                  
∵0≤x₀²≤4，
∴2≤t≤3．
∴實數t的取值范圍為[2，3]．

點評：本小題主要考查橢圓的概念、橢圓的方程等基礎知識，考查待定系數法、數形結合的數學思想與方法，以及運算求解能力．