Question

已知：f（x）=

1

2

x²-（a²+2）x+（a²+1）lnx，（a∈R）．
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）的極大值與極小值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），當a=1時，f′（x）=x-3+

2

x

=

(x-1)(x-2)

x

，（x＞0），由此利用函數(shù)的性質(zhì)能求出f（x）的極大值與極小值．
（Ⅱ）f′（x）=x-（a²+2）+

a2+1

x

=

(x-1)(x-a2-1)

x

，（x＞0），由此利用分類討論思想和導數(shù)的性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞）…（1分）
當a=1時，f（x）=

1

2

x²-3x+2lnx
f′（x）=x-3+

2

x

=

(x-1)(x-2)

x

，（x＞0）…（3分）
由f′（x）=0得x=1或x=2…（4分）
則x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值- 5 2	↘	極小值-4+2ln2	↗

∴f（x）_極大值=-

5

2

f（x）_極小值=-4+2ln2…（6分）
（Ⅱ）f′（x）=x-（a²+2）+

a2+1

x

=

(x-1)(x-a2-1)

x

，（x＞0）…（8分）
①當a=0時，f′（x）=

(x-1)2

x

≥0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；…（9分）
②當a≠0時，
由f′（x）＞0得，x＞a²+1或0＜x＜1，
由f′（x）＜0得，1＜x＜a²+1，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），（ a²+1，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間為（1，a²+1），…（11分）
由①②得：當a=0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
當a≠0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），（ a²+1，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間為（1，a²+1）…（12分）

點評：本題主要考查極值的概念、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力．