Question

1．某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、周二兩天內(nèi)采摘完畢，基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘，由于下雨會(huì)影響藥材品質(zhì)，基地收益如下表所示：

周一	無雨	無雨	有雨	有雨
周二	無雨	有雨	無雨	有雨
收益	20萬	15萬	10萬	7.5萬

若基地額外聘請(qǐng)工人，可在周一當(dāng)天完成全部采摘任務(wù)；無雨時(shí)收益為20萬元；有雨時(shí)收益為10萬元，額外聘請(qǐng)工人的成本為a萬元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，兩天是否下雨互不影響，基地收益為20萬元的概率為0.36．（1）若不額外聘請(qǐng)工人，寫出基地收益X的分布列及基地的預(yù)期收益；
（2）該基地是否應(yīng)該外聘工人，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）解設(shè)下周一有雨的概率為p，由題意，p²=0.36，p=0.6，基地收益x的可能取值為20，15，10，7.5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出基地收益X的分布列和基地的預(yù)期收益．
（2）設(shè)基地額外聘請(qǐng)工人時(shí)的收益為Y萬元，其預(yù)期收益E（Y）=16-a（萬元），E（Y）-E（X）=1.6-a，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）設(shè)下周一有雨的概率為p，
由題意，p²=0.36，p=0.6，基地收益x的可能取值為20，15，10，7.5，
則P（X=20）=0.36，
P（X=15）=0.24，
P（X=10）=0.24，
P（X=7.5）=0.16，
所以基地收益X的分布列為：

X	20	15	10	7.5
P	0.36	0.24	0.24	0.16

基地的預(yù)期收益EX=20×0.36+15×0.24+10×0.24+7.5×0.16=14.4，
∴基地的預(yù)期收益為14.4萬元．
（2）設(shè)基地額外聘請(qǐng)工人時(shí)的收益為Y萬元，
則其預(yù)期收益E（Y）=20×0.6+10×0.4-a=16-a（萬元），
E（Y）-E（X）=1.6-a，
綜上，當(dāng)額外聘請(qǐng)工人的成本高于1.6萬元時(shí)，不外聘工人；
成本低于1.6萬元時(shí)，外聘工人；
成本恰為1.6萬元時(shí)，是否外聘工人均可以．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法與應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考知識(shí)點(diǎn)之一．