Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²-ax+a（x∈R）同時滿足：
①不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素；
②在定義域內(nèi)存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=f（n）．規(guī)定：在各項均不為零的數(shù)列{b_n}中，所有滿足_k•b_k+1＜0的正整數(shù)k的個數(shù)稱為這個數(shù)列{b_n}的變號數(shù)．若令b_n=1-

a

an

（n∈N^*）則：（�。゜₂=

 

；（ⅱ）數(shù)列{b_n}的變號數(shù)為：

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（ⅰ）根據(jù)已知推斷△=0，求得a，利用②知在（0，+∞）上單調(diào)減，排除a=0，則S_n可得．進(jìn)而求得a_n，則b_n可求得，最后求得b₂．
（ⅱ）由（�。┲衎_n的通項公式分別求得b₁，b₂，b₃，b₄及n≥5時，b_n＞0，進(jìn)而求得數(shù)列{b_n}的變號數(shù)．

解答： 解：（�。┯散僦�：△=a²-4a=0，
∴a=0或a=4，
由②知在（0，+∞）上單調(diào)減，
∴a=4，
∴S_n=（n-2）²，
∴a₁=1，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-5，
n≥2時，b_n=1-

4

an

=

2n-9

2n-5

，
∴b₂=5，
（ⅱ）由（�。┲猙₁=1-

4

a1

=-3，同理b₃=-3，b₄=-

1

3

，n≥5時，b_n＞0，
∴b₁b₂＜0，b₂b₃＜0，b₄b₅＜0，故變號數(shù)為3，
故答案為：5，3．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，數(shù)列的通項公式的求法．考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識的綜合運用．