Question

16．已知圓C的方程為x²+y²+（m-2）x+（m+1）y+m-2=0．根據(jù)下列條件確定實數(shù)m的取值．并寫出相應的圓心坐標和半徑．
（1）圓的面積最小；
（2）圓心距離坐標原點最近．

Answer 1

分析 （1）由圓的方程可得圓心坐標為（$\frac{2-m}{2}$，$\frac{-m-1}{2}$），半徑r=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2{m}^{2}-6m+13}$，由二次函數(shù)的最值可得；
（2）可得距離d=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2{m}^{2}-2m+5}$，由二次函數(shù)可得．

解答 解：（1）∵圓C的方程為x²+y²+（m-2）x+（m+1）y+m-2=0，
∴圓心坐標為（$\frac{2-m}{2}$，$\frac{-m-1}{2}$），
半徑r=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（m-2）^{2}+（m+1）^{2}-4（m-2）}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2{m}^{2}-6m+13}$
由開口向上的二次函數(shù)的性質知當m=-$\frac{-6}{2×2}$=$\frac{3}{2}$時，半徑取最小值$\frac{\sqrt{34}}{4}$，圓的面積最小，
此時圓心為（$\frac{1}{4}$，-$\frac{5}{4}$），半徑r=$\frac{\sqrt{34}}{4}$；
（2）由（1）圓心與原點的距離d=$\sqrt{（\frac{2-m}{2}）^{2}+（\frac{-m-1}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2{m}^{2}-2m+5}$，
由二次函數(shù)知當m=-$\frac{-2}{2×2}$=$\frac{1}{2}$時，圓心距離坐標原點最近，
此時圓心為（$\frac{3}{4}$，-$\frac{3}{4}$），半徑r=$\frac{\sqrt{42}}{4}$

點評 本題考查圓的一般式方程，涉及二次函數(shù)的最值，屬中檔題．