Question

14．四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AD⊥DC，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且AB=AD=1，PD=DC=2，E是PC的中點．
（Ⅰ）求證：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）線段PB上是否存在一點Q，使得PC⊥平面ADQ？若存在，求出$\frac{PB}{QB}$的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）以D為坐標原點，以DA、DC、DP所在直線依次為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，由向量法得到AF∥BE，由此能證明BE∥平面PAD．
（II）假設(shè)線段PB上存在一點Q，使PC⊥平面ADQ，設(shè)$\frac{PB}{QB}=λ（λ＞0）$，由向量法能求出λ=3，由此得到線段PB上存在一點Q，使得PC⊥平面ADQ，且$\frac{PB}{QB}=3$．

解答 （I）證明：以D為坐標原點，以DA、DC、DP所在直線依次為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，…1分
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1）…2分
取PD中點F，連結(jié)AF，F(xiàn)（0，0，1），$\overrightarrow{AF}=（-1，0，1）$，…3分
$\overrightarrow{BE}=（-1，0，1）$，∴$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{BE}$…4分
即AF∥BE…5分
而AF?平面PDA，且BE?平面PDA
∴BE∥平面PAD…6分
（II）解：假設(shè)線段PB上存在一點Q，使PC⊥平面ADQ，設(shè)$\frac{PB}{QB}=λ（λ＞0）$
設(shè)Q（x，y，z），則$\overrightarrow{PB}=λ\overrightarrow{QB}$，即（1，1，-2）=λ（1-x，1-y，-z）…8分
∴$x=1-\frac{1}{λ}，y=1-\frac{1}{λ}，z=\frac{2}{λ}$…9分
$\overrightarrow{DA}=（{1，0，0}），\overrightarrow{DQ}=（{x，y，z}），\overrightarrow{PC}=（{0，2，-2}）$
∵PC⊥平面ADQ，∴$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PC•}\overrightarrow{DA}=0}\\{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{DQ}=2y-2z=0}\end{array}}\right.$，∴y=z，…10分
即$1-\frac{1}{λ}=\frac{2}{λ}$，∴λ=3
∴線段PB上存在一點Q，使得PC⊥平面ADQ，且$\frac{PB}{QB}=3$．…13分．

點評 本題考查線面平行的證明，考查使得線面垂直的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．