Question

12．設(shè)f（x）是一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為正的二次函數(shù)，f（x+3）=f（-1-x）對(duì)任意x∈R都成立，若向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{1}{2}$，2sinx），$\overrightarrow$=（2，sinx），$\overrightarrow{c}$=（2，1），$\overrightarrowxtp2m3w$=（1，cos2x），求f（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$）-f（$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrowgftp7ea$）＞0的解集．

Answer 1

分析 由已知條件便知二次函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為x=1，并且在[1，+∞）上單調(diào)遞增，而容易得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=2-cos2x≥1$，$\overrightarrow{c}•\overrightarrowgtgsdo0=2+cos2x≥1$，從而由原不等式可得f（2-cos2x）＞f（2+cos2x），這樣根據(jù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增便可得出2-cos2x＞2+cos2x，從而解該不等式即可得出原不等式的解集．

解答 解：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=1+2si{n}^{2}x=2-cos2x$≥1，$\overrightarrow{c}•\overrightarrowhe1ocyr=2+cos2x$≥1；
∵f（x）是一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為正的二次函數(shù)，f（x+3）=f（-1-x）對(duì)任意x∈R都成立；
∴x=1為f（x）的對(duì)稱軸，f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增；
由$f（\overrightarrow{a}•\overrightarrow）-f（\overrightarrow{c}•\overrightarrowkghqoz4）＞0$得，$f（\overrightarrow{a}•\overrightarrow）＞f（\overrightarrow{c}•\overrightarrowapybnb2）$；
∴f（2-cos2x）＞f（2+cos2x）；
∴2-cos2x＞2+cos2x；
∴cos2x＜0；
∴$2kπ+\frac{π}{2}＜2x＜2kπ+\frac{3π}{2}$，k∈Z；
∴$kπ+\frac{π}{4}＜x＜kπ+\frac{3π}{4}$，k∈Z；
∴原不等式的解集為$（kπ+\frac{π}{4}，kπ+\frac{3π}{4}），k∈Z$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，二倍角的余弦公式，余弦函數(shù)的值域，以及二次函數(shù)的單調(diào)性，f（x+m）=f（n-x）時(shí)，知道f（x）關(guān)于x=$\frac{m+n}{2}$對(duì)稱，熟悉余弦函數(shù)的圖象．