Question

10．已知雙曲線$E：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，若E上存在點(diǎn)P使△F₁F₂P為等腰三角形，且其頂角為$\frac{2π}{3}$，則$\frac{a^2}{b^2}$的值是（　�。�

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 由題意，可得∠PF₂x=60°，|PF₂|=2c，P（2c，$\sqrt{3}$c），代入雙曲線的方程可得$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{^{2}}$=1，即可求出$\frac{a^2}{b^2}$的值．

解答 解：由題意，可得∠PF₂x=60°，|PF₂|=2c，
∴P（2c，$\sqrt{3}$c），
代入雙曲線的方程可得$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{^{2}}$=1，
∴4b⁴-3a⁴=0，
∴$\frac{a^2}{b^2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定P的坐標(biāo)是關(guān)鍵．