Question

7．已知sinx+cosx=1，則（sinx）²⁰¹⁸+（cosx）²⁰¹⁸=1．

Answer 1

分析 法一：由已知可得sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由正弦函數(shù)的圖象可得x=2kπ或x=2kπ+$\frac{π}{2}$．k∈Z，分類討論，求得sinx，cosx的值，即可得解；
法二：將sinx+cosx=1，兩端平方得sinxcosx=0，再結(jié)合sinx+cosx=1，解得sinx，cosx的值，分類討論即可得解．

解答 解：法一：∵sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）=1，
∴sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{3π}{4}$或x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z．
∴x=2kπ或x=2kπ+$\frac{π}{2}$．k∈Z
當(dāng)x=2kπ，cosx=1，sinx=0，
∴（sinx）²⁰¹⁸+（cosx）²⁰¹⁸=0+1=1；
當(dāng)x=2kπ+$\frac{π}{2}$，cosx=0，sinx=1，
∴（sinx）²⁰¹⁸+（cosx）²⁰¹⁸=1+0=1．
綜上所述，（sinx）²⁰¹⁸+（cosx）²⁰¹⁸的值為1．
法二：∵sinx+cosx=1，
∴兩端平方，求得：sinxcosx=0，
又∵sinx+cosx=1，
∴cosx=1，sinx=0，此時(shí)：（sinx）²⁰¹⁸+（cosx）²⁰¹⁸=0+1=1；
或cosx=0，sinx=1，此時(shí)：（sinx）²⁰¹⁸+（cosx）²⁰¹⁸=1+0=1．
綜上所述，（sinx）²⁰¹⁸+（cosx）²⁰¹⁸的值為1．
故答案為：1．

點(diǎn)評 本題主要考查了兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了分類討論思想，其中已知三角函數(shù)值求角是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．