如圖，半徑為1的圓O外有一動點P，過P作圓O的切線PA，PB切于點A，B，以直徑AC為一邊作正三角形△ADC，則
BP 
•
BD
-
AP
•
AD
的最大值是
 
．
考點：平面向量數(shù)量積的運算
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：如圖所示，連接OA，OB，AB．可得AO⊥OD，AB⊥OP，
AO
•
OD
=
OP
•
BA
=0．由已知可得
AO
2=
BO
2=1．再利用向量的三角形法則和數(shù)量積運算性質(zhì)可得
BP 
•
BD
-
AP
•
AD
=(
BO
+
OP
)•(
BO
+
OD
)-(
AO
+
OP
)•(
AO
+
OD
)展開即可得出．
解答： 解：如圖所示，連接OA，OB，AB．
則AO⊥OD，AB⊥OP，
∴
AO
•
OD
=
OP
•
BA
=0．
又
AO
2=
BO
2=1．
∴
BP 
•
BD
-
AP
•
AD
=(
BO
+
OP
)•(
BO
+
OD
)-(
AO
+
OP
)•(
AO
+
OD
)
=
BO
2+
BO
•
OD
+
OP
•
BO
+
OP
•
OD
-(
AO
2+
AO
•
OD
+
OP
•
AO
+
OP
•
OD
)
=
BO
•
OD
+
OP
•(
BO
-
AO
)
=
BO
•
OD
+
OP
•
BA

=
BO
•
OD

=-|
BO
| |
OD
|cos∠BOD
=-
3
cos∠BOD≤
3
，當(dāng)且僅當(dāng)B，O，D三點共線時取等號．
∴
BP 
•
BD
-
AP
•
AD
的最大值是
3
．
故答案為：
3
．
點評：本題綜合考查了向量的三角形法則和數(shù)量積運算性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在等比數(shù)列{an}中，S4=1，S8=3，則S12的值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平臺，給出下列四個命題：
①若α∥β，l?α，則l∥β；   
②若l⊥α，l⊥m，則m∥α；
③若l∥α，α⊥β，則l⊥β；  
④若l⊥α，m?α，則l⊥m．
其中正確的命題是
 
．（填寫序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

同時拋擲5枚均勻的硬幣80次，設(shè)5枚硬幣正好出現(xiàn)2枚正面向上，3枚反面向上的次數(shù)為ξ，則ξ的數(shù)學(xué)期望是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點M，N是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的點，直線OM與直線ON的斜率之積為
b2
a2
（O為坐標(biāo)原點），P為平面內(nèi)任意一點．研究發(fā)現(xiàn)：
若
OP
=
OM
+
ON
，則點p的軌跡方程為
x2
a2
+
y2
b2
=2；
若
OP
=2
OM
+
ON
，則點p的軌跡方程為
x2
a2
+
y2
b2
=5；
若
OP
=
OM
+2
ON
，則點p的軌跡方程為
x2
a2
+
y2
b2
=5；
若
OP
=3
OM
+
ON
，則點p的軌跡方程為
x2
a2
+
y2
b2
=10；
若
OP
=
OM
+3
ON
，則點p的軌跡方程為
x2
a2
+
y2
b2
=10；
根據(jù)上述研究結(jié)果，可歸納出：
OP
=m
OM
+n
ON
（m，n∈N*）則點p的軌跡方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=x3+ax2+x-7在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別是a，b，c，若c2=（a-b）2+6，C=
π
3
，則△ABC的面積是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=5，anan+1=2n，則
a7
a5
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知關(guān)于x的方程x2-2（a-3）x+9-b2=0，其中a，b都可以從集合{1，2，3，4，5，6}中任意選取，則已知
方程兩根異號的概率為（　　）
A、
1
6
B、
1
2
C、
1
12
D、
1
3

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同步練習(xí)冊答案