Question

16．“莞馬”活動(dòng)中的α機(jī)器人一度成為新聞熱點(diǎn)，為檢測其質(zhì)量，從一生產(chǎn)流水線上抽取20件該產(chǎn)品，其中合格產(chǎn)品有15件，不合格的產(chǎn)品有5件．
（1）現(xiàn)從這20件產(chǎn)品中任意抽取2件，記不合格的產(chǎn)品數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從流水線中任意抽取三個(gè)機(jī)器人，記ξ為合格機(jī)器人與不合格機(jī)器人的件數(shù)差的絕對(duì)值，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，求出相應(yīng)的概率，可求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）合格機(jī)器人的件數(shù)可能是0，1，2，3，相應(yīng)的不合格機(jī)器人的件數(shù)為3，2，1，0．所以ξ的可能取值為1，3，求出相應(yīng)的概率，可求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2           …（1分）；
P（X=0）=$\frac{{C}_{5}^{0}{C}_{15}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{21}{38}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{15}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{15}{38}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{15}^{0}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{1}{19}$，
所以隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{21}{38}$	$\frac{15}{38}$	$\frac{1}{19}$

…（5分）；
∴E（X）=0×$\frac{21}{38}$+1×$\frac{15}{38}$+2×$\frac{1}{19}$=$\frac{1}{2}$．…（6分）；
（2）合格機(jī)器人的件數(shù)可能是0，1，2，3，相應(yīng)的不合格機(jī)器人的件數(shù)為3，2，1，0．
所以ξ的可能取值為1，3                                                 …（8分）；
由題意知：$P（ξ=1）=C_3^1{（\frac{3}{4}）^1}{（\frac{1}{4}）^2}+C_3^2{（\frac{3}{4}）^2}{（\frac{1}{4}）^1}=\frac{9}{16}$…（9分）；
P（ξ=3）=${C}_{3}^{0}•（\frac{3}{4}）^{0}•（\frac{1}{4}）^{3}$+${C}_{3}^{3}•（\frac{3}{4}）^{3}•（\frac{1}{4}）^{0}$=$\frac{7}{16}$              …（10分）；
所以隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	1	3
P	$\frac{9}{16}$	$\frac{7}{16}$

…（11分）；
∴$Eξ=1×\frac{9}{16}+3×\frac{7}{16}=\frac{15}{8}$…（12分）；

點(diǎn)評(píng) 本題考查隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定變量的取值與相應(yīng)的概率是關(guān)鍵．