Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²|x-a|（a∈R），求f（x）在[1，2]上的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 通過討論a的范圍，去掉絕對值，求出函數(shù)的導數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：①當a≤$\frac{3}{2}$時，在[1，2]上，f（x）=x³-ax²，
∵f′（x）=3x（x-$\frac{2}{3}$a）＞0，x∈（1，2），
則f（x）是區(qū)間[1，2]上的增函數(shù)，
②當$\frac{3}{2}$＜a≤2，f′（x）=3x（x-$\frac{2}{3}$a），1＜$\frac{2}{3}$a≤$\frac{4}{3}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{2}{3}$a，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜$\frac{2}{3}$a，
∴f（x）在（1，$\frac{2}{3}$a）遞減，在（$\frac{2}{3}$a，2]遞增；
③當a＞2時，f（x）=ax²-x³，f′（x）=3x（$\frac{2}{3}$a-x），
∵2＜a≤$\frac{7}{3}$，∴1＜$\frac{2}{3}$a≤$\frac{14}{9}$，
當1＜x＜$\frac{2}{3}$a時，f′（x）＞0，從而f（x）為區(qū)間[1，$\frac{2}{3}$a]上的增函數(shù)；
當$\frac{2}{3}$a＜x＜2時，f′（x）＜0，從而f（x）為區(qū)間[$\frac{2}{3}$a，2]上的減函數(shù)．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．