Question

7．設(shè)首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+1-3S_n=1．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（2）數(shù)列{a_n}是否存在一項(xiàng)a_k，使得a_k恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)r（r∈N^*，r≥2）項(xiàng)的和？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）設(shè)${b_n}=\frac{n}{{{a_{n+1}}}}（n∈{N^*}）$，試問(wèn)是否存在正整數(shù)p，q（1＜p＜q）使b₁，b_p，b_q成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組（p，q）；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)S_n+1-3S_n=1與S_n-3S_n-1=1作差可知a_n+1=3a_n（n≥2），進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1、公比為3的等比數(shù)列；
（2）通過(guò)（1）可知a_n=3^n-1、S_n=$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1），假設(shè)存在滿足題意的項(xiàng)a_k，則3^k-1=S_r+t-S_t，進(jìn)而化簡(jiǎn)可知不存在r滿足3^r-x-$\frac{1}{{3}^{x}}$=2，進(jìn)而可得結(jié)論；
（3）通過(guò)（1）可知b_n=$\frac{n}{{3}^{n}}$，假設(shè)存在正整數(shù)p，q（1＜p＜q）使b₁，b_p，b_q成等差數(shù)列，通過(guò)化簡(jiǎn)可知q=3^q-p（2p-3^p-1），利用當(dāng)p≥3時(shí)2p-3^p-1＜0可知當(dāng)p≥3時(shí)不滿足題意，進(jìn)而驗(yàn)證當(dāng)p=2時(shí)是否滿足題意即可．

解答 （1）證明：∵S_n+1-3S_n=1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-3S_n-1=1，
兩式相減得：a_n+1=3a_n，
又∵S_n+1-3S_n=1，a₁=1，
∴a₂=S₂-S₁=2a₁+1=3滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1、公比為3的等比數(shù)列；
（2）解：結(jié)論：不存在滿足題意的項(xiàng)a_k；
理由如下：
由（1）可知a_n=3^n-1，S_n=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$=$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1），
假設(shè)數(shù)列{a_n}中存在一項(xiàng)a_k，使得a_k恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)r（r∈N^*，r≥2）項(xiàng)的和，
則3^k-1=S_r+t-S_t=$\frac{1}{2}$（3^r+t-1）-$\frac{1}{2}$（3^t-1）=$\frac{1}{2}$（3^r+t-3^t）=$\frac{1}{2}$•3^t（3^r-1），
于是$\frac{1}{2}$（3^r-1）=3^x（其中x為大于1的自然數(shù)），
整理得：3^r-x-$\frac{1}{{3}^{x}}$=2，
顯然r無(wú)解，故假設(shè)不成立，
于是不存在滿足題意的項(xiàng)a_k；
（3）解：結(jié)論：存在唯一的數(shù)組（p，q）=（2，3）滿足題意；
理由如下：
由（1）可知b_n=$\frac{n}{{3}^{n}}$，
假設(shè)存在正整數(shù)p，q（1＜p＜q）使b₁，b_p，b_q成等差數(shù)列，
則2b_p=b₁+b_q，即2$\frac{p}{{3}^{p}}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{q}{{3}^{q}}$，
整理得：2p•3^q-p=3^q-1+q，
∴q=2p•3^q-p-3^q-1=3^q-p（2p-3^p-1），
∵當(dāng)p≥3時(shí)2p-3^p-1＜0，
∴當(dāng)p≥3時(shí)不滿足題意，
當(dāng)p=2時(shí)，2$\frac{p}{{3}^{p}}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{q}{{3}^{q}}$即為：$\frac{4}{9}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{q}{{3}^{q}}$，
整理得：$\frac{1}{9}$=$\frac{q}{{3}^{q}}$，解得：q=3，
綜上所述，存在唯一的數(shù)組（p，q）=（2，3）滿足題意．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．