Question

18．已知{a_n}是等差數(shù)列，b_n=$（\frac{1}{2}）^{{a}_{n}}$，若b₁+b₂+b₃=$\frac{21}{8}$，b₁•b₂•b₃=$\frac{1}{8}$，求a_n．

Answer 1

分析 可判數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，可得b₂=$\frac{1}{2}$，設公比為q，則$\frac{1}{2q}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$q=$\frac{21}{8}$，解方程可得q，進而可得a₁和公差d，可得通項公式．

解答 解：∵{a_n}是等差數(shù)列，b_n=$（\frac{1}{2}）^{{a}_{n}}$，
∴$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$（\frac{1}{2}）^{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$為常數(shù)，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，
∵b₁•b₂•b₃=$\frac{1}{8}$，∴b₂=$\frac{1}{2}$，
設公比為q，則b₁+b₂+b₃=$\frac{1}{2q}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$q=$\frac{21}{8}$，
解得q=4或q=$\frac{1}{4}$，
當q=4時，b₁=$\frac{1}{8}$，∴a₁=3，由$\frac{_{2}}{_{1}}$=$（\frac{1}{2}）^qomkql8$（d為公差），
可得d=-2，∴a_n=3-2（n-1）=5-2n；
當q=$\frac{1}{4}$時，b₁=2，∴a₁=-1，由$\frac{_{2}}{_{1}}$=$（\frac{1}{2}）^lr0ifec$（d為公差），
可得d=2，∴a_n=-1+2（n-1）=2n-3
綜上可得a_n=5-2n或a_n=2n-3

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，涉及分類討論的思想，屬中檔題．