Question

17．已知x²+y²=1，求證：|x²+2xy-y²|≤$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由條件利用三角代換化簡不等式的左邊為|$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$+2θ）|，再根據(jù)正弦函數(shù)的值域，證得不等式成立．

解答 解：∵x²+y²=1，∴可令x=cosθ，y=sinθ，
∴|x²+2xy-y²|=|cos²θ-sin²θ+2sinθcosθ|=|cos2θ+sin2θ|=|$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$+2θ）|≤$\sqrt{2}$，
故：|x²+2xy-y²|≤$\sqrt{2}$成立．

點評 本題主要考查三角代換，兩角和的正弦公式、正弦函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．