Question

7．已知函數(shù)f（x）對任意x∈（0，+∞），滿足f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{2}{x}$-log₂x-3
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）判斷并證明f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（Ⅲ）證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)有唯一零點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可令$\frac{1}{x}=t，t∈（0，+∞）$，從而得出x=$\frac{1}{t}$，這便可得到f（t）=2t+log₂t-3，t換上x便可得出f（x）的解析式；
（Ⅱ）容易判斷f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增，根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性證明f（x₁）＞f（x₂）便可得出f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅲ）容易求出f（1）＜0，f（2）＞0，而f（x）在（0，+∞）上又是單調(diào)函數(shù)，從而得出f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)有唯一零點．

解答 解：（Ⅰ）令$\frac{1}{x}=t，t∈（0，+∞）$，$x=\frac{1}{t}$，則：
$f（t）=2t-lo{g}_{2}\frac{1}{t}-3=2t+lo{g}_{2}t-3$；
∴f（x）的解析式為f（x）=2x+log₂x-3，x∈（0，+∞）；
（Ⅱ）f（x）為定義域（0，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)；
證明：設(shè)x₁＞x₂＞0，則：
f（x₁）-f（x₂）=2x₁+log₂x₁-2x₂-log₂x₂=2（x₁-x₂）+（log₂x₁-log₂x₂）；
∵x₁＞x₂＞0；
∴x₁-x₂＞0，log₂x₁＞log₂x₂，log₂x₁-log₂x₂＞0；
∴2（x₁-x₂）+（log₂x₁-log₂x₂）＞0；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）為定義域（0，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)；
（Ⅲ）證明：f（1）=2•1+log₂1-3=-1＜0，f（2）=2•2+log₂2-3=2＞0；
又f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)函數(shù)；
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)有唯一零點．

點評 考查換元求函數(shù)解析式的方法，對數(shù)的運算，以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，增函數(shù)的定義，根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），以及函數(shù)零點的定義，函數(shù)零點個數(shù)的判斷．