Question

17．F₁、F₂是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的焦點，P是C上任一點，PF₁交y軸于Q點，若P、Q、O、F₂四點共圓且$\frac{P{F}_{1}}{P{F}_{2}}$+$\frac{P{F}_{2}}{P{F}_{1}}$=$\frac{8}{3}$，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 可設(shè)P為雙曲線的右支上一點，由P、Q、O、F₂四點共圓，可得PF₁⊥PF₂，運用雙曲線的定義和勾股定理，解方程化簡可得c=2a，再由離心率公式即可得到所求值．

解答 解：可設(shè)P為雙曲線的右支上一點，
由P、Q、O、F₂四點共圓，可得PF₁⊥PF₂，
由$\frac{P{F}_{1}}{P{F}_{2}}$+$\frac{P{F}_{2}}{P{F}_{1}}$=$\frac{8}{3}$，解得$\frac{P{F}_{1}}{P{F}_{2}}$=$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$，
由雙曲線的定義可得PF₁-PF₂=2a，
解得PF₂=（$\sqrt{7}$-1）a，PF₁=（$\sqrt{7}$+1）a，
由直角三角形PF₁F₂，可得
PF₁²+PF₂²=F₁F₂²，
即為（$\sqrt{7}$-1）²a²+（$\sqrt{7}$+1）²a²=4c²，
即為c=2a，即有e=$\frac{c}{a}$=2．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用雙曲線的定義和直角三角形的勾股定理，考查運算能力，屬于中檔題．