Question

7．已知f（x）=$\frac{m}{x+1}$+nlnx（m，n為常數(shù)），在x=1處的切線方程為x+y-2=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式并寫出定義域；
（Ⅱ）若?x∈[$\frac{1}{e}$，1]，使得對?t∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒有f（x）≥t³-t²-2at+2成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得m，n的值，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義得到函數(shù)定義域；
（Ⅱ）f（x）在[$\frac{1}{e}$，1]上的最小值為f（1）=1，只需t³-t²-2at+2≤1，即$2a≥{t^2}-t+\frac{1}{t}$對任意的$t∈[\frac{1}{2}，2]$上恒成立，構(gòu)造函數(shù)m（t），利用導(dǎo)數(shù)求出m（t）的最大值，即可求得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由$f（x）=\frac{m}{x+1}+nlnx$可得$f'（x）=-\frac{m}{{{{（x+1）}^2}}}+\frac{n}{x}$，
由條件可得$f'（1）=-\frac{m}{4}+n=-1$，
把x=-1代入x+y=2可得，y=1，
∴$f（1）=\frac{m}{2}=1$，∴m=2，$n=-\frac{1}{2}$，
∴$f（x）=\frac{2}{x+1}-\frac{1}{2}lnx$，（0，+∞）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在$[\frac{1}{e}，1]$上單調(diào)遞減，
∴f（x）在$[\frac{1}{e}，1]$上的最小值為f（1）=1，
故只需t³-t²-2at+2≤1，即$2a≥{t^2}-t+\frac{1}{t}$對任意的$t∈[\frac{1}{2}，2]$上恒成立，
令m（t）=${t^2}-t+\frac{1}{t}$，
易求得m（t）在$[\frac{1}{2}，1]$單調(diào)遞減，[1，2]上單調(diào)遞增，
而$m（\frac{1}{2}）=\frac{7}{4}$，$m（2）=\frac{5}{2}$，
∴2a≥m（t）_max=g（2）
∴$a≥\frac{5}{4}$，即a的取值范圍為$[\frac{5}{4}，+∞）$．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，屬于中檔題．