Question

1．△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足$\sqrt{3}tanA$•tanB-tanA-tanB=$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求角C的大��；
（Ⅱ）若c=2，求a²+b²的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由$\sqrt{3}tanA$•tanB-tanA-tanB=$\sqrt{3}$，代入tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$，利用誘導(dǎo)公式、三角形內(nèi)角和定理即可得出．
（II）由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（I）∵$\sqrt{3}tanA$•tanB-tanA-tanB=$\sqrt{3}$，∴tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{\sqrt{3}（tanAtanB-1）}{1-tanAtanB}$=-$\sqrt{3}$，
∴tan（π-C）=-$\sqrt{3}$，化為tanC=$\sqrt{3}$，∵C∈（0，π），∴$C=\frac{π}{3}$．
（II）由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，
∴4=a²+b²-ab≥${a}^{2}+^{2}-\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$，∴a²+b²≤8，當(dāng)且僅當(dāng)a=b是取等號(hào)．
又a²+b²＞4，
∴（a²+b²）∈（4，8]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了誘導(dǎo)公式、三角形內(nèi)角和定理、余弦定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．