Question

15．構(gòu)造如圖所示的數(shù)表，規(guī)則如下：先排兩個1作為第一層，然后在每一層的相鄰兩個數(shù)之間插入這兩個數(shù)和的a倍得下一層，其中a＞0，設(shè)n層中有a_n個數(shù)，這a_n個數(shù)的和為S_n（n∈N^*）．
（1）求a_n；
（2）求S_n．

Answer 1

分析 （1）確定a_n+1-1=2（a_n-1），再求a_n，（2）構(gòu)造S_n+1-1=（2a+1）（S_n-1），寫出等比數(shù)列的公比和首項，求出S_n．

解答 解：（1）由題意可知，a₁=2，a_n+1=a_n+（a_n-1）=2a_n-1，
∴a_n+1-1=2（a_n-1），則${a}_{n}-1=（{a}_{1}-1）•{2}^{n-1}$，
∴${a}_{n}={2}^{n-1}+1$；
（2）S₁=2，S_n+1=S_n+2aS_n-2a=（2a+1）S_n-2a，
∴S_n+1-1=（2a+1）（S_n-1），
∴${S}_{n}-1=（2a+1）^{n-1}$，
${S}_{n}=（2a+1）^{n-1}+1$．

點評 本題考查學(xué)生的觀察能力，構(gòu)造法求通項，屬于中檔題．