Question

13．直線y=x+1與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩漸近線l₁，l₂依次交于A，B兩點，若|AB|=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{30}}{5}$
• B． $\frac{6}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{30}}{5}$或$\sqrt{6}$
• D． $\frac{6}{5}$或6

Answer 1

分析 雙曲線的漸近線的方程為y=±$\frac{a}$x，直線y=x+1與y=±$\frac{a}$x聯(lián)立，可得A，B的橫坐標分別為$\frac{a}{b-a}$，-$\frac{a}{b+a}$，利用弦長公式，求出$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：雙曲線的漸近線的方程為y=±$\frac{a}$x，
直線y=x+1與y=±$\frac{a}$x聯(lián)立，可得A，B的橫坐標分別為$\frac{a}{b-a}$，-$\frac{a}{b+a}$，
∵|AB|=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴$\sqrt{1+1}$•|$\frac{a}{b-a}$+$\frac{a}{b+a}$|=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴$\sqrt{5}$（$\frac{a}$）²+4×$\frac{a}$-$\sqrt{5}$=0，
∵a＞b＞0，
∴$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴e=$\sqrt{1+\frac{1}{5}}$=$\frac{\sqrt{30}}{5}$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，正確運用弦長公式是關(guān)鍵．