3.已知拋物線Γ:y2=2px,準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為P(-2,0).
(Ⅰ)求拋物線Γ的方程;
(Ⅱ)如圖,Q(1,0),過(guò)點(diǎn)P的直線l與拋物線Γ交于不同的兩點(diǎn)A,B,AQ與BQ分別與拋物線Γ交于點(diǎn)C,D,設(shè)AB,DC的斜率分別為k1,k2,AD,BC的斜率分別為k3,k4,問(wèn):是否存在常數(shù)λ,使得k1k3k4=λk2,若存在,求出λ的值,若不存在,說(shuō)明理由.

分析 (Ⅰ)利用拋物線的性質(zhì),求出p,即可求拋物線Γ的方程;
(Ⅱ)假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ,設(shè)AB的直線方程為x=my-2,與拋物線方程聯(lián)立,由$\overrightarrow{AQ}∥\overrightarrow{AC}$化簡(jiǎn)可得y1y3=-8,同理可得y2y4=-8,利用k1k3k4=λk2,求出λ的值.

解答 解:(Ⅰ)因?yàn)闇?zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為P(-2,0),所以p=4.
所以拋物線Γ的方程為y2=8x----------(4分)
(Ⅱ)假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ
設(shè)AB的直線方程為x=my-2,$A({\frac{y_1^2}{8},{y_1}})$,$B({\frac{y_2^2}{8},{y_3}})$,$C({\frac{y_3^2}{8},{y_3}})$,$D({\frac{y_4^2}{8},{y_4}})$
由$\left\{\begin{array}{l}x=my-2\\{y^2}=8x\end{array}\right.$化簡(jiǎn)得:y2-8my+16=0
所以$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=8m\\{y_1}{y_2}=16\end{array}\right.$----------(7分)
$\overrightarrow{AQ}=({1-\frac{y_1^2}{8},-{y_1}}),\overrightarrow{AC}=({\frac{y_3^2}{8}-\frac{y_1^2}{8},{y_3}-{y_1}})$
由$\overrightarrow{AQ}∥\overrightarrow{AC}$化簡(jiǎn)可得y1y3=-8,
同理可得y2y4=-8----------(10分)
因?yàn)?{k_1}=\frac{8}{{{y_1}+{y_2}}}$,${k_2}=\frac{8}{{{y_3}+{y_4}}}=\frac{8}{{\frac{-8}{y_1}+\frac{-8}{y_2}}}=-\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}$,${k_3}=\frac{8}{{{y_1}+{y_4}}}=\frac{8}{{{y_1}-\frac{8}{y_2}}}={y_2}$,${k_4}=\frac{8}{{{y_2}+{y_3}}}={y_1}$
所以代入k1k3k4=λk2得$\frac{8}{{{y_1}+{y_2}}}$y1y2=$-λ\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}$,
所以存在λ=-8----------(15分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.

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