Question

5．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知4sin²$\frac{A+B}{2}$+3cosC=$\frac{9}{2}$，且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=4．
（1）求角C和c；
（2）求△ABC的周長(zhǎng)d的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由三角形的內(nèi)角和定理與三角恒等變換，化簡(jiǎn)4sin²$\frac{A+B}{2}$+3cosC=$\frac{9}{2}$，求出角C的值；
由平面向量的數(shù)量積和余弦定理，化簡(jiǎn)$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=4，求出邊長(zhǎng)c的值；
（2）根據(jù)a+b＞c，利用余弦定理，結(jié)合基本不等式，求出a+b的取值范圍，即得△ABC周長(zhǎng)d的取值范圍．

解答 解：（1）△ABC中，∵A+B+C=π，
∴$\frac{A+B}{2}$=$\frac{π}{2}$-$\frac{C}{2}$，
∴sin$\frac{A+B}{2}$=cos$\frac{C}{2}$
∵4sin²$\frac{A+B}{2}$+3cosC=$\frac{9}{2}$，
∴2（1+cosC）+3cosC=$\frac{9}{2}$，
解得cosC=$\frac{1}{2}$，
∴C=$\frac{π}{3}$；
又∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=4，
∴c•bcosA+c•acosB=4
∴cb•$\frac{{c}^{2}{+b}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$+ac•$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=c²=4
∴c=2；
（2）由已知：a＞0，b＞0，a+b＞c=2；
由余弦定理得：
c²=a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$=（a+b）²-3ab≥（a+b）²-3•${（\frac{a+b}{2}）}^{2}$=$\frac{1}{4}$（a+b）²，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立，
∴（a+b）²≤4c²=4×4=16；
又a+b＞2，
∴2＜a+b≤4，∴4＜a+b+c≤6；
∴△ABC的周長(zhǎng)d的取值范圍是（4，6]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了三角恒等變換與余弦定理的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．