Question

已知f（x）=

1

|x-2|+1

-

1

3

，g（x）=|x-2|-2，記F（t）=

∫

t 0

[f（x）-g（x）]dx，函數(shù)F（t）的導(dǎo)函數(shù)為F′（t），則函數(shù)y=F′（t），t∈（0，4）的大致圖象是（　�。�

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考點：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先化簡兩個函數(shù)的表達式，驗證可知f（x）與g（x）均過（0，0）與（4，0），且在x∈（0，4）時f（x）的圖象都在g（x）的上方，故在同一坐標系中畫圖，結(jié)合圖象處理．

解答： 解：對于函數(shù)f（x）=

1

|x-2|+1

-

1

3

=

1 x-1 - 1 3 ，x≥2 -1 x-3 - 1 3 ，x＜2

，此函數(shù)中的兩段都可看成反比例函數(shù)經(jīng)過平移得到，
且x≥2時不難驗證圖象過（2，

2

3

）與（4，0）；而x≤2時不難驗證圖象過（2，

2

3

）與（0，0）；
對于函數(shù)g（x）=|x-2|-2=

x-4，x≥2 -x，x＜2

，此函數(shù)中的兩段都可看成直線的一部分，
x≥2時不難驗證圖象過（2，-2）與（4，0）；而x≤2時不難驗證圖象過（2，-2）與（0，0）；
利用上述條件在同一個平面直角坐標系內(nèi)畫y=f（x）與y=g（x）圖象：

又F（t）=

∫

1 0

[f（x）-g（x）]dx表示由函數(shù)f（x）=

1

|x-2|+1

-

1

3

的圖象、g（x）=|x-2|-2的圖象與直線x=t圍成的圖形的面積，
∴從圖象可以看出，t從0開始增大時，直線x=t向右移動，∵F（t）是增函數(shù)，且增的速度變化是先慢中間快再慢，
∴F′（t）的圖象只有B符合．
故選：B．

點評：本題綜合考查函數(shù)與函數(shù)圖象，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、定積分的幾何意義，屬于選擇題中的高檔題．