Question

已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx-1（x∈R），給出下列四個命題（　�。�
①若f（x₁）=-f（x₂），則x₁=-x₂；
②f（x）的最小正周期是2π；
③f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上是增函數(shù)；
④f（x）的圖象關(guān)于直線x=

3π

4

對稱，
其中正確的命題是（　　）

• A、①②④
• B、①③
• C、②③
• D、③④

Answer 1

考點：二倍角的正弦

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：f（x）=2sinxcosx-1=sin2x-1，
①若f（x₁）=-f（x₂）⇒sin2x₁=sin2x₂=1，不能推出x₁=-x₂，可判斷①；
②利用正弦函數(shù)的周期公式可知f（x）的最小正周期是T=

2π

2

=π≠2π，可判斷②；
③由-

π

2

≤2x≤

π

2

得：-

π

4

≤x≤

π

4

，f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上是增函數(shù)，可判斷③；
④f（

3π

4

）=sin

3π

2

-1=-2，為其最小值，可判斷④

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=2sinxcosx-1=sin2x-1（x∈R），
①若f（x₁）=-f（x₂），則sin2x₁-1+sin2x₂-1=0，
所以，sin2x₁+sin2x₂=2，
所以，sin2x₁=sin2x₂=1，不能推出x₁=-x₂，故①錯誤；
②f（x）的最小正周期是T=

2π

2

=π≠2π，故②錯誤；
③由-

π

2

≤2x≤

π

2

得：-

π

4

≤x≤

π

4

，f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上是增函數(shù)，③正確；
④因為f（

3π

4

）=sin

3π

2

-1=-2，為其最小值，故f（x）的圖象關(guān)于直線x=

3π

4

對稱，④正確．
其中正確的命題是③④，
故選：D．

點評：本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，著重考查其周期性、單調(diào)性與對稱軸的應(yīng)用，屬于中檔題．